Un punto singular de una función es un punto donde la función es continua pero la derivada en dicho punto es discontinua[1]​[2]​ (más exactamente tiene una discontinuidad no evitable de primera especie).

  1. lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)} , función continua.
  2. lim x → a − d y d x ≠ lim x → a d y d x {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}\neq \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}} , no derivable.

Los puntos singulares son los únicos puntos en donde una función es continua, pero no puede trazarse una recta tangente a la función en dicho punto.

En un punto singular, esto no se cumple, las derivadas no laterales forman un ángulo no llano lo que le da el nombre a este tipo de punto, también se denominan puntos angulosos. Además, como consecuencia, no existe la normal en este punto. Además existen funciones tales que todos sus puntos son angulosos, o más exactamente donde no existe la derivada en ningún punto a pesar de que su grafo es una curva continua, uno de los primeros ejemplos de este tipo de funciones lo constituyó la función de Weierstrass:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n cos ⁡ ( b n π x ) , {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}

siendo los números reales a y b tales que:

a b > 1 3 2 π . {\displaystyle ab>1 {\frac {3}{2}}\pi .}

Ejemplos

Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}=-\infty }
Función creciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función convexa.
Para x = a máximo relativo.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x < 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}<0}
Función creciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función cóncava.
Para x = a máximo relativo.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x < 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}<0}
Función creciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función cóncava..
Para x = a máximo relativo.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}=0}
Función creciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función cóncava..
Para x = a máximo relativo.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}=0}
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función convexa.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x > 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}>0}
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función cóncava.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x > 0 {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}>0}
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función convexa.
Función continua y no derivable en a
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
lim x → a − d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
lim x → a d y d x = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a^{ }}{\cfrac {dy}{dx}}=\infty }
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Para x < a es Función convexa.
Para x > a es Función cóncava.
Para x = a es Punto de inflexión.

Véase también

  • Punto singular de una curva
  • Punto crítico
  • Punto estacionario
  • Punto de inflexión
  • Extremos de una función
  • Singularidad matemática
  • Clasificación de discontinuidades
  • Criterio de la primera derivada
  • Criterio de la segunda derivada
  • Criterio de la tercera derivada
  • Criterio de la derivada de mayor orden
  • Punto de silla

Notas y referencias

Bibliografía

  1. Barrios García, Javier A; Carrillo Fernández, Marianela (2005). Análisis de funciones en economía y empresa. Díaz de Santos. p. 80. ISBN 84-7978-660-4. 

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